प्रगत झेड-परिवर्तन

गणित आणि सिग्नल प्रोसेसिंगमध्ये, प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म हे z- ट्रान्सफॉर्मचा विस्तार आहे, आदर्श विलंब समाविष्ट करण्यासाठी जे सॅम्पलिंग वेळेचे पटीत नाहीत. तो फॉर्म घेतो

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(kT+m)z^{-k}$

कुठे

• टी हा सॅम्पलिंग कालावधी आहे
• m ("विलंब पॅरामीटर") सॅम्पलिंग कालावधीचा एक अंश आहे $[0,T].$

हे सुधारित z-ट्रान्सफॉर्म म्हणून देखील ओळखले जाते.

प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म मोठ्या प्रमाणावर लागू केले जाते, उदाहरणार्थ डिजिटल नियंत्रणातील विलंब प्रक्रिया अचूकपणे मॉडेल करण्यासाठी.

गुणधर्म

जर विलंब पॅरामीटर, m, निश्चित मानले गेले तर झेड-ट्रान्सफॉर्मचे सर्व गुणधर्म प्रगत झेड-ट्रान्सफॉर्मसाठी धरून ठेवतात.

रेखीयता

$𝒵\{\sum _{k=1}^n{c}_k{f}_k(t)\}=\sum _{k=1}^n{c}_k{F}_k(z,m).$

वेळ शिफ्ट

$𝒵\{u(t-nT)f(t-nT)\}=z^{-n}F(z,m).$

ओलसर

$𝒵\{f(t)e^{-at}\}=e^{-am}F(e^{aT}z,m).$

वेळ गुणाकार

$𝒵\{t^{y}f(t)\}={(-Tz\frac{d}{dz}+m)}^{y}F(z,m).$

अंतिम मूल्य प्रमेय

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(kT+m)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})F(z,m).$

उदाहरण

खालील उदाहरणाचा विचार करा कुठे $f(t)=\cos (\omega t)$ :

$\begin{array}{cc}F(z,m)& =𝒵\{\cos \left(\omega (kT+m)\right)\}\\ & =𝒵\{\cos (\omega kT)\cos (\omega m)-\sin (\omega kT)\sin (\omega m)\}\\ & =\cos (\omega m)𝒵\{\cos (\omega kT)\}-\sin (\omega m)𝒵\{\sin (\omega kT)\}\\ & =\cos (\omega m)\frac{z(z-\cos (\omega T))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}-\sin (\omega m)\frac{z\sin (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}\\ & =\frac{z^2\cos (\omega m)-z\cos (\omega (T-m))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}.\end{array}$

तर $m=0$ नंतर $F(z,m)$ रूपांतर करण्यासाठी कमी करते

$F(z,0)=\frac{z^2-z\cos (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1},$

जे स्पष्टपणे फक्त झेड -परिवर्तन आहे $f(t)$ .

संदर्भ

• इलियाहू इब्राहम ज्युरी, थिअरी अँड अॅप्लिकेशन ऑफ द z-ट्रान्सफॉर्म मेथड, क्रिगर पब को, 1973. .