गॅमा फल

गॅमा फल (Gamma function) हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे साचा:Math ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे साचा:Math = 1!,साचा:Math = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,$$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा साचा:Math असा असतो.

• Γ(z) परिभाषित आणि विश्लेषणात्मक क्षेत्र Re(z)>0.
• Γ(n+1)=n! , n≥0 पूर्णांक साठी.
• Γ(z+1)=zΓ(z) (कार्य समीकरण)
• $\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin \pi z},z\in ̸\mathbb{Z}$

 जे सूचित करते,$\mathrm{\Gamma }(z-n)=(-1{)}^{n-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(-z)\mathrm{\Gamma }(1+z)}{\mathrm{\Gamma }(n+1-z)},n\in \mathbb{Z}$

• लेजेंडर डुप्लिकेशन सूत्र, $\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$
• ऑयलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र $$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}.$$

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंध

पाय फलाची व्याख्या (pi function)$$\mathrm{\Pi }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^z{e}^{-t}dt.$$

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंधाचे सूत्र साचा:Math.

अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, साचा:Math .

फॅक्टोरियल फंक्शन (क्रमगुणित फल), ऋण पूर्णांक वगळता सर्व वास्तविक संख्यांसाठी सामान्यीकृत. उदाहरणार्थ, साचा:Nowrap, साचा:Nowrap, साचा:Nowrap.

या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक साचा:Mvar (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां) ला पुनरावृत्ती दर्शविते. $$\mathrm{\Pi }(z)=z\mathrm{\Pi }(z-1).$$

हे पुनरावृत्ती संबंध आहे. याला गॅमा फलात लिहील्यास, हे पुनरावृत्त राहत नाही.$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n).$$

अर्ध-पूर्णांक संख्यांना या फलांची किंमत ही त्यांच्यापैकी एकाद्वारे निर्धारित केली जाते:$$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=(-\frac{1}{2})!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2})=\sqrt{\pi },$$ हे साचा:Math साठी,$$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)=(-\frac{1}{2}+n)!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2}+n)\\ =& \sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi }.\end{array}$$उदाहरणार्थ, $$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{7}{2}!=\mathrm{\Pi }\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}\sqrt{\pi }=\frac{8!}{4^{4}4!}\sqrt{\pi }=\frac{7!}{2^{7}3!}\sqrt{\pi }=\frac{105}{16}\sqrt{\pi }\approx 11.631728\dots$$

सर्व साचा:Math साठी, $$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)=(-\frac{1}{2}-n)!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2}-n)=\sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n\frac{2}{1-2k}=\frac{{(-4)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }.$$ उदाहरणार्थ, $$\mathrm{\Gamma }(-\frac{5}{2})=(-\frac{7}{2})!=\mathrm{\Pi }(-\frac{7}{2})=\frac{2}{-1}\cdot \frac{2}{-3}\cdot \frac{2}{-5}\sqrt{\pi }=\frac{{(-4)}^{3}3!}{6!}\sqrt{\pi }=-\frac{8}{15}\sqrt{\pi }\approx -0.945308\dots$$

काही विशिष्ट किंमती

गॅमा फलाच्या काही विशिष्ट किंमती ..

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{\Gamma }(-\frac{3}{2})& =& \frac{4\sqrt{\pi }}{3}& \approx & +2.36327180120735470306\\ \mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})& =& -2\sqrt{\pi }& \approx & -3.54490770181103205459\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)& =& \sqrt{\pi }& \approx & +1.77245385090551602729\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =& 0!& =& +1\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)& =& \frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx & +0.88622692545275801364\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =& 1!& =& +1\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)& =& \frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx & +1.32934038817913702047\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =& 2!& =& +2\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{2}\right)& =& \frac{15\sqrt{\pi }}{8}& \approx & +3.32335097044784255118\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =& 3!& =& +6\end{array}$

गुणाकार व्यस्त गॅमा फलः

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-3)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-2)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-1)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(0)}=0.$