क्रमगुणित

काही निवडक संख्यांचे क्रमगुणीत; काही संख्या अचूकपणे प्रदर्शित करण्यासाठी घातांकाच्या रूपात लिहिल्या आहेत.

n	n!
०	१
१	१
२	२
३	३
४	२४
५	साचा:Val
६	साचा:Val
७	साचा:Val
८	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val
साचा:Val	साचा:Val

गणितामध्ये कोणत्याही ऋण नसलेल्या पूर्णांकाचा nचा क्रमगुणित (factorial- फॅक्टोरियल) हा n! ने दर्शवतात.
क्रमगुणित म्हणजे ती संख्या व तिच्यापेक्षा लहान धन पूर्णांकाचा गुणाकार होय.

 n! = n . (n-१) . (n-२) . (n-३) . (n-४) ..... ४ . ३ . २ . १

उदाहरणार्थ,

 साचा:Val! = साचा:Val . साचा:Val . साचा:Val . साचा:Val . साचा:Val = साचा:Val

याचा उपयोग बीजगणित, मांडणी व जुळवणी मध्ये केला जातो.

साचा:Val!चे मूल्य! साचा:Val आहे. कारण,

 ⇒n!=n×(n−साचा:Val)!
 समजा nची किंमत १ धरल्यास,
 ⇒साचा:Val!=साचा:Val!×(साचा:Val−साचा:Val)!
 ⇒साचा:Val!=साचा:Val!×(साचा:Val)!

डावी बाजू = उजवी बाजू असले पाहिजे, हा नियम पूर्ण होण्यासाठी, साचा:Val! = साचा:Val असणे हे गरजेचे आहे.

गॅमा व पाय फल (फलन)

गैर-ऋण (ऋण नसलेला) पूर्णांकाशिवाय अपूर्णांकांचा सुद्धा क्रमगुणित काढला जाऊ शकतो, परंतु यासाठी गणितीय विश्लेषणातील अधिक प्रगत साधने (क्रिया) आवश्यक आहेत.

गॅमा फल हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे साचा:Math ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे साचा:Math = 1!,साचा:Math = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,$$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा साचा:Math असा असतो.

यूलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र $$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}.$$

कार्ल फ्रेडरिक गॉस यांनी समान हेच दर्शविण्यासाठी साचा:Math चिन्ह वापरले, परंतु चलाची किंमत ही १ ने बदलली आहे, जेणेकरून ते गैर-ऋणात्मक पूर्णांकांच्या क्रमगुणितांसाठी बरोबर ठरेन. पाय फलाची व्याख्या$$\mathrm{\Pi }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^z{e}^{-t}dt.$$तच

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंधाचे सूत्र साचा:Math.

अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, साचा:Math .

फॅक्टोरियल फंक्शन (क्रमगुणित फल), ऋण पूर्णांक वगळता सर्व वास्तविक संख्यांसाठी सामान्यीकृत. उदाहरणार्थ, साचा:Nowrap, साचा:Nowrap, साचा:Nowrap.

या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक साचा:Mvar (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां) ला पुनरावृत्ती दर्शविते. $$\mathrm{\Pi }(z)=z\mathrm{\Pi }(z-1).$$

हे पुनरावृत्ती संबंध आहे. याला गॅमा फलात लिहील्यास, हे पुनरावृत्त राहत नाही.$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n).$$

अर्ध-पूर्णांक संख्यांना या फलांची किंमत ही त्यांच्यापैकी एकाद्वारे निर्धारित केली जाते:$$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=(-\frac{1}{2})!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2})=\sqrt{\pi },$$ हे साचा:Math साठी,$$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)=(-\frac{1}{2}+n)!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2}+n)\\ =& \sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2}=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi }.\end{array}$$उदाहरणार्थ, $$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{7}{2}!=\mathrm{\Pi }\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}\sqrt{\pi }=\frac{8!}{4^{4}4!}\sqrt{\pi }=\frac{7!}{2^{7}3!}\sqrt{\pi }=\frac{105}{16}\sqrt{\pi }\approx 11.631728\dots$$

सर्व साचा:Math साठी, $$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)=(-\frac{1}{2}-n)!=\mathrm{\Pi }(-\frac{1}{2}-n)=\sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n\frac{2}{1-2k}=\frac{{(-4)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }.$$ उदाहरणार्थ, $$\mathrm{\Gamma }(-\frac{5}{2})=(-\frac{7}{2})!=\mathrm{\Pi }(-\frac{7}{2})=\frac{2}{-1}\cdot \frac{2}{-3}\cdot \frac{2}{-5}\sqrt{\pi }=\frac{{(-4)}^{3}3!}{6!}\sqrt{\pi }=-\frac{8}{15}\sqrt{\pi }\approx -0.945308\dots$$