प्रगत झेड-परिवर्तन चा उगम बघा


[[गणित]] आणि सिग्नल प्रोसेसिंगमध्ये, '''प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म''' हे [[झेड-परिवर्तन|z-]] ट्रान्सफॉर्मचा विस्तार आहे, आदर्श विलंब समाविष्ट करण्यासाठी जे सॅम्पलिंग वेळेचे पटीत नाहीत. तो फॉर्म घेतो

: <math>F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}</math>

कुठे

* ''टी'' हा सॅम्पलिंग कालावधी आहे
* ''m'' ("विलंब पॅरामीटर") सॅम्पलिंग कालावधीचा एक अंश आहे <math>[0, T].</math>

हे '''सुधारित z-ट्रान्सफॉर्म''' म्हणून देखील ओळखले जाते.

प्रगत z-ट्रान्सफॉर्म मोठ्या प्रमाणावर लागू केले जाते, उदाहरणार्थ डिजिटल नियंत्रणातील विलंब प्रक्रिया अचूकपणे मॉडेल करण्यासाठी.

== गुणधर्म ==
जर विलंब पॅरामीटर, ''m'', निश्चित मानले गेले तर झेड-ट्रान्सफॉर्मचे सर्व गुणधर्म प्रगत झेड-ट्रान्सफॉर्मसाठी धरून ठेवतात.

=== रेखीयता ===

: <math>\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F_k(z, m).</math>

=== वेळ शिफ्ट ===

: <math>\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).</math>

=== ओलसर ===

: <math>\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).</math>

=== वेळ गुणाकार ===

: <math>\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).</math>

=== अंतिम मूल्य प्रमेय ===

: <math>\lim_{k \to \infty} f(k T + m) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})F(z, m).</math>

== उदाहरण ==
खालील उदाहरणाचा विचार करा कुठे <math>f(t) = \cos(\omega t)</math> :

: <math>\begin{align}
F(z, m) & = \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\
        & = \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\
        & = \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\
        & = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\
        & = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}.
\end{align}</math>

तर <math>m=0</math> नंतर <math>F(z, m)</math> रूपांतर करण्यासाठी कमी करते

: <math>F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1},</math>

जे स्पष्टपणे फक्त ''झेड'' -परिवर्तन आहे <math>f(t)</math> .

== संदर्भ ==

* इलियाहू इब्राहम ज्युरी, ''थिअरी अँड अॅप्लिकेशन ऑफ द z-ट्रान्सफॉर्म मेथड'', क्रिगर पब को, 1973.  .

[[वर्ग:बीजगणित]]