सामान्य मर्यादांचे तक्ते

हे सामान्य फलांच्या मर्यादांची यादी आहे. हे लक्षात घ्या की a आणि b हे "x" सापेक्ष स्थिरांक आहेत

सामान्य फलांसाठीच्या मर्यादा

जर$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ आणि $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$ तर:

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$ जर $L_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n$ जर $n$ हा धन पूर्णांक असेल

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}$ जर $n$ हा धन पूर्णांक असेल आणि जर $n$ हा सम असेल $L_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ जर $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$ किंवा $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (एल’हॉस्पितलचा नियम)

सामान्य फलांच्या मर्यादा

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x(1+h))}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

उल्लेखनीय विशेष मर्यादा

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=e^{mk}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^x=e^k$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$

साधे फल

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r$ जर $r$ हा धन पूर्णांक असेल

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=$जर $r$ हा विषम असेल तर$-\mathrm{\infty },$आणि जर $r$ हा सम असेल तर$+\mathrm{\infty },$

शब्दांकी आणि घातांकी फल

$a>1$असेल, तर$:$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

जर $a<1:$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

त्रिकोणमितीय फल

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$ कुठलाही पूर्णांक $n$ साठी

अनंताजवळ

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0$ कुठल्याही वास्तव N करता

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\mathrm{\infty },$जर$N>0$अस्तित्वात नाही$,-\mathrm{\infty },$जर$N<0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& -1<N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0$ कुठल्याही N > 1 करता

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=1,$जर N > 0 आणि 0, जर N = 0 अस्तित्वात नाही, जर N < 0

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }$ कुठल्याही N > 0 करता

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$