परवलय

गणितात परवलय किंवा अन्वस्त (Parabola) ही एका सपाट पृष्ठभागावर काढता येण्यासारखी विशिष्ट वक्राकृती आहे.

अन्वस्त (निळे वक्र)

त्याची नाभि (focus) व शिरोबिंदू (vertex) यांच्या आधारे पॅराबोलाच्या आकृतीची निश्चिती होते. नाभि व दर्शिका दोहोंपासून समान अंतरावार असलेल्या बिदूंचा समूह म्हणजे अन्वस्त होय. अन्वस्त हा एक शंकुच्छेद (शंकु आणि प्रतलाच्या छेदापासून उत्पन्न होणारे वक्र) आहे. बैजिक वर्णन करावयाचे असल्यास, कुठल्याही वर्गीय फलाचा आलेख हा परवलायाकृती असतो.

नाभीमधून जाणाऱ्या दर्शिकेला लंबरूप असणाऱ्या रेषेस अन्वस्ताचा सममिती अक्ष असे म्हणतात. सममिती अक्ष आणि अन्वस्त ह्यांच्या छेदन बिंदूला अन्वस्ताचा शिरोबिंदु असे संबोधले जाते. शिरोबिंदूच्या ठिकाणी अन्वस्ताची वक्रता सर्वाधिक असते. शिरोबिंदू आणि नाभीमधील अंतरास नाभीय अंतर किंवा नाभ्यंतर असे म्हणतात. दर्शिकेला समांतर आणि नाभीतून जाणाऱ्या रेषाखंडास नाभिलंब असे नाव आहे.

प्रकाश परावर्तित करणाऱ्या पदार्थापासून बनवलेल्या अन्वस्ताचा एक विशेष गुणधर्म असतो. अशा अन्वस्ताच्या आंतर्वक्र बाजूने सममिती अक्षास समांतर येणारे प्रकाशकिरण, त्याच्या पृष्ठावरील कुठल्याही बिंदूवरून परावर्तन घडले तरीही परावर्तित झाल्यावर नाभीमधून जातात. याउलट नाभीमधून उगम पावून कुठल्याही दिशेने संक्रमण करणारी प्रकाशकिरणे अन्वस्ताच्या पृष्ठभागावरून परावर्तित झाल्यावर सममिती अक्षास समांतर दिशेनेच संक्रमण करतात. प्रकाशाप्रमाणे ध्वनीसारख्या इतर ऊर्जाप्रकारांसाठीही हेच तत्त्व लागू होते. अन्वस्ताचा हा गुणधर्म अनेक व्यावहारिक वापरांसाठी उपयुक्त ठरतो.

कार्टिशियन निर्देशांकांतील स्वरूप

शंकुच्छेदांचे प्रकार: वर्तुळ (लाल), विवृत्त किंवा लंबवर्तुळ (हिरवे), अन्वस्त (निळे), अपास्त (भगवे).

सममिती अक्ष य-अक्षास समांतर असताना

कार्टिशियन निर्देशक पद्धतीत नाभीचे निर्देशक $F=(0,f),f>0,$ आणि दर्शिकेचे समीकरण $y=-f$ असता, अन्वस्तावरील $P=(x,y)$ ह्या कुठल्याही बिंदूस $x^2+(y-f{)}^2=(y+f{)}^2$ हे समीकरण लागू होते. यावरून अन्वस्ताचे

$y=\frac{1}{4f}{x}^2$

असे समीकरण मिळते. तसेच नाभिलंबाच्या अर्ध्या भागाची लांबी जर $p$ असेल तर

$p=2f$

हे समीकरण लागू होते. $p$ ह्या परिमाणाचा वापर करून अन्वस्ताचे पारिमाणिक समीकरण

$x^2=2py$

ह्याप्रमाणे लिहिता येते.

वरील बंधने वगळून अन्वस्ताचा शिरोबिंदु $V=(v_1,v_2)$, नाभि $F=(v_1,v_2+f)$ आणि दर्शिका $y=v_2-f$ आहेत असे गृहीत धरले तर त्याचे

$y=\frac{1}{4f}(x-v_1{)}^2+v_2=\frac{1}{4f}{x}^2-\frac{v_1}{2f}x+\frac{v_1^2}{4f}+v_2$

ह्याप्रमाणे समीकरण मिळते.

1. $f<0$ असता अन्वस्त खालच्या बाजूस वाकलेले असते.
2. सममिती अक्ष y अक्षास समांतर असल्यास अन्वस्त हा कोटी 2 असलेल्या बहुपदीचा आलेख असतो. तसेच कुठल्याही कोटी 2 असलेल्या बहुपदीचा आलेख अन्वस्ताकृती असतो.
3. $x$ आणि $y$ यांची अदलाबदल केल्यास $y^2=2px$ हे समीकरण मिळते. $p<0$ असता अन्वस्त डाव्या बाजूस वाकलेला तर $p>0$ असता उजव्या बाजूस वाकलेले असते.

मोघम स्वरूप

जर नाभि $F=(f_1,f_2)$ आणि दर्शिका $ax+by+c=0$ ह्याप्रमाणे असतील तर

$\frac{{(ax+by+c)}^2}{a^2+b^2}={(x-f_1)}^2+{(y-f_2)}^2$

असे अन्वस्ताचे समीकरण असते.

अन्वस्ताच्या समीकरणाचे अव्यक्त रूप हे वर्गीय बहुपदी वापरून खालीलप्रमाणे लिहिता येते:

$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0,$

आणि वरील राशीत $b^2-4ac=0$ हे समीकरण नेहमी लागू असते.

फलाचा आलेख

$y=a{x}^2$ स्वरूपाची समीकरणे असणारे काही शंकुच्छेद.

आरंभ बिंदुच्या ठिकाणी शिरोबिंदु आणि सममिती अक्ष y अक्षास समांतर असणारा अन्वस्त हा

$f(x)=a{x}^2$

ह्या फलाचा आलेख असतो. $a>0$असता अन्वस्त वरच्या बाजूस वाकलेले तर $a<0$असता खालच्या बाजूस वाकलेले असते. अशा स्वरूपात व्यक्त केलेल्या अन्वस्ताची काही परिमाणे खालीलप्रमाणे असतात.

• नाभि $(0,\frac{1}{4a})$.
• नाभ्यंतर $\frac{1}{4a}$, तर नाभिलंबाच्या अर्ध्या भागाची लांबी $p=\frac{1}{2a}$.
• शिरोबिंदू $(0,0)$.
• दर्शिकेचे समीकरण $y=-\frac{1}{4a}$
• $(x_0,a{x}_0^2)$ ह्या बिंदूतून जाणाऱ्या स्पर्शिकेचे समीकरण $y=2a{x}_{0}x-a{x}_0^2$.

$f(x)=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

ह्या विशिष्ट स्वरूपाच्या समीकरणावरून काही परिमाण पुढीलप्रमाणे चटकन मिळवता येतात:

• सममिती अक्षाचे समीकरण $x=-\frac{b}{2a}$
• नाभ्यंतर $\frac{1}{4a}$, तर नाभिलंबाच्या अर्ध्या भागाची लांबी $p=\frac{1}{2a}$.
• शिरोबिंदू $V=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
• नाभि $F=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2+1}{4a})$
• दर्शिकेचे समीकरण $y=\frac{4ac-b^2-1}{4a}$.
• अन्वस्त आणि y अक्ष यांचा छेदन बिंदूचे निर्देशांक $(0,c)$.
• y अक्षावरील बिंदूतून जाणारी स्पर्शिका $y=bx+c$.

शंकुच्छेदीय स्वरूप

समाईक शिरोबिंदु असणारे काही शंकुच्छेद.

सममिती अक्ष हा x अक्ष, (0,0) हा एक शिरोबिंदु आणि नाभिलंबाच्या अर्ध्या भागाची लांबी $p$असणारे सर्व शंकुच्छेद

$y^2=2px+(e^2-1)x^2,e\ge 0$,

ह्या एकाच समीकरणाद्वारे व्यक्त करता येतात. इथे $e$ही शंकुच्छेदाची उत्केंद्रता होय.

• $e=0$ असता वर्तुळ,
• $0<e<1$ असता लंबवर्तुळ (विवृत्त),
• $e=1$ असता $y^2=2px$ हे समीकरण असणारा अन्वस्त, तर
• $e>1$ असल्यास अपास्त मिळतो.

ध्रुवीय निर्देशांकांतील स्वरूप

समाईक नाभि असणारे काही शंकुच्छेद.

$p>0$ असता एखाद्या अन्वस्ताचे समीकरण जर $y^2=2px$ असेल, तर त्याचे ध्रुवीय निर्देशांकांतील समीकरण

$r=2p\frac{\cos \phi }{{\sin }^2\phi },\phi \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\setminus \{0\}.$

($r^2=x^2+y^2,x=r\cos \phi$.)

ह्याप्रमाणे असते. : त्याचा शिरोबिंदू व नाभि अनुक्रमे $V=(0,0)$ व $F=(\frac{p}{2},0)$ असतात.

निर्देशांक पद्धतीच्या आरंभ बिंदूचे नाभीच्या ठिकाणी स्थित्यंतर केले असता (म्हणजेच नाभि $F=(0,0)$ असता)

$r=\frac{p}{1-\cos \phi }\text{ with }\phi \ne 2\pi k.$

असे समीकरण मिळते.

कंसाची लांबी

X हा अन्वस्तावरील कुठलाही बिंदू, आणि p हे X आणि सममिती अक्षामधील अंतर असता, अन्वस्ताचा शिरोबिंदू आणि X यांना जोडणाऱ्या कंसाची लांबी s ही पुढील सूत्राप्रमाणे असते:

$\begin{array}{cc}h& =\frac{p}{2}\\ q& =\sqrt{f^2+h^2}\\ s& =\frac{hq}{f}+f\ln \left(\frac{h+q}{f}\right)\end{array}$

चेंडूचा किंवा तोफेच्या गोळ्याचा मार्ग

हवॆेत समोरच्या दिशेने चेंडू फेकला की त्याचा मार्ग पॅराबोलासारखा असतो. तोफेतून उडालेल्या गोळ्याचेही असेच असते.